Nombre d'or

Depuis l’Antiquité, le nombre d’or est connu. Il est à la base d’une recherche en harmonie, en esthétisme en peinture, sculpture, architecture…en respectant des proportions très précises.

Le nombre d’or est en fait le rapport entre deux longueurs. Il se retrouve dans le milieu naturel (certains coquillages, disposition de feuilles le long de tiges de certaines plantes…) et même pour certaines parties du corps humain.

Tracé d’un rectangle d’or

1.                  Tracer un carré ABCD

2.                 Positionner O milieu du côté AD

3.                 Tracer l’arc de cercle de centre O et passant par C.

4.                 L’arc et le côté du carré AD se coupent en F.

5.                 Tracer EF

6.                 ABEF est un rectangle d’or : le rapport longueur sur largeur AF/AB est égal au nombre d’or.

Calcul du rayon OC

La racine carrée est notée sqrt().

On suppose le carré ABCD de côté unité.

Le triangle ODC est un triangle rectangle de côtés OD = 0,5, DC = 1 et d’inconnu OC, le rayon.

- Propriété de Pythagore

DO² + DC² = OC²

0,5² + 1² = OC²          OC² = 1,25          rayon r = OC = sqrt(1,25)

Calcul du nombre d’or

AF/AB = (AO + OF)/1 = 0,5 + sqrt(1,25)

- simplification du rayon r = sqrt(1,25)

sqrt(1,25) = sqrt(5 x 0,5²) = sqrt(5) x sqrt(0,5²) = sqrt(5) x 0,5

Donc

AF/AB = 0,5 + sqrt(5) x 0,5 = 0,5 ( 1 + sqrt(5))

Soit

AF/AB = ( 1+ sqrt(5))/2     environ     1,618

Le rectangle CEFD est aussi un rectangle d’or

- Calcul de CD/DF

CD/DF = 1 / (r-0,5) = 1 / (0,5 x sqrt(5) – 0,5) = 1 / (0,5(sqrt(5) -1)) = 1/0,618 = 1,618

0,618 et 1,618 sont des inverses.

Les deux rectangles de la figure initiale sont des rectangles d’or.

Propriété fondamentale :

le rapport longueur/largeur est égal au rapport (longueur+largeur)/longueur.

Cela donne la proportion :          L/l = (L + l) / L

Prenons l = 1, on obtient :

L/ 1 = (L + 1) / L          soit          L² - L – 1 = 0

La résolution de cette équation du deuxième degré en L donne pour solution :

1,618 (et – 0,618) soit le nombre d’or (et à la fois son inverse et opposé).

Pour vérifier la propriété, il faut bien un rectangle de 1,618 sur 1.

D’autres rectangles d’or par calcul

Tout rectangle homothétique à un rectangle d’or est aussi un rectangle d’or.

Quand on écrit homothétique, on sous-entend que les dimensions du nouveau rectangle sont égaux aux dimensions du rectangle d’or initial à un coefficient multiplicateur (ou diviseur) près. Voir schéma ci-dessous.

En calculant le rapport L/l, le coefficient k présent aussi bien en numérateur qu’en dénominateur disparaît.

L/l = k x AF / k x AB = AF/AB = nombre d’or = 1,618

D’autres rectangles d’or par tracé

A partir d’un rectangle d’or initial, il suffit comme on l’a vu dans le premier dessin d’accoler un carré au rectangle. On peut ainsi obtenir soit un rectangle plus grand, soit plus petit suivant que l’on ajoute ou soustrait la surface du carré.

Dans le dessin ci-dessous, les surfaces sont soit des carrés, soit des rectangles d’or.

En reliant les points ah doc, on obtient une spirale logarithmique.